BALOTARIO DE FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA
RAZONES Y PROPORCIONES
5) Si: a/b=c/d=k y: (a+c-d)(a+c-b)=(b+d)^2
Hallar la razón de: (b+d)^2/bxd
a/b=c/d=k→ (a+c)/(b+d)=k→a+c=k(b+d)
(a+c-d)(a+c-b)=(b+d)^2
(k(b+d)-d)(k(b+d)-b)=(b+d)^2
k^2 (b+d)^2-k(b+d)^2+bd=(b+d)^2
(b+d)^2 (k^2-k-1)=-bd
(b+d)^2/bd=1/(1+k-k^2 )
7) La suma y el producto de los 4 términos de una proporción continua son respectivamente 192 y 194, 481. Calcular la diferencia de los extremos.
a/b=b/c
a+2b+c=192→a+c=150
a.b.b.c=194481→b^2=441→b=21
a=3,c=147
c-a=144
9) En una proporción geométrica continua el producto de sus 4 términos es 50,625; y uno de los extremos es 25 veces el otro. Hallar la suma de los términos de la proporción.
a/b=b/c
a.b.b.c=50625→b^4=50625→b=15
c=25a→a=3,c=75
a+2b+c=3+2(15)+75=108
11) Los términos extremos de una proporción geométrica son iguales, siendo su valor igual a la cuarta proporcional de 4, 10 y 8. Si uno de los términos medios es 10, ¿cuánto vale el otro medio?
4/10=8/x→x=20
20/10=x/20→400=10x→x=40
16) Al quitar 18 a cada uno de dos números, la razón entre los mismos sería como 5 es a 7. Si la razón inicial de los mismo era como 7 es a 9. Hallar el número mayor.
a/b=7/9→(a-18)/(b-18)=5/7
a=7/9 b→7a-126=5b-90
7a-5b=36
49b/9-5b=36
4b/9=36→b=81
18) Si hace diez años la edad de Carmen era a la de Julia como 2 es a 3, y dentro de 6 años la nueva razón será 6 y 7. Determinar la suma de estas edades.
(c-10)/(j-10)=2/3→3c-30=2j-20
3c-2j=10
(c+6)/(j+6)=6/7→7c+42=6j+36
7c-6j=-6
-7c+6j=6
3(3c-2j=10)9c-6j=30
-7c+6j=6-7c+6j=6
2c=36
c=18
j=22 Suma=40
24) Se construye una proporción geométrica en la que el producto de sus términos es 8,100 y su suma 40. Determinar la suma del mayor más el menor término de la proporción.
a/b=c/d
a.b.c.d=8100→ad=bc=90
a+b+c+d=40→a+d=b+15=21
a=6
b=9
c=10
d=15
4) Si: 3/a=a/n=2/b=b/c=c/16
Hallar: (a+b+c+n)
3/( a)=a/n=2/b=b/c=c/16
5/(a+b)=(a+b)/(c+n)→c+n=〖((a+b))/5〗^2
→a+b=10→c+n=20
a+b+c+n=30
7) En una serie de tres razones geométricas iguales, el producto de los términos de cada razón es 15, 60 y 135; y además la suma de los cuadrados de los consecuentes es 350. Hallar la razón.
a/b=c/d=e/f ab=15 c=2a
cd=60 d=2b
ef=135 e=3a
f=3b
Además: b^2+d^2+f^2=350
b^2+〖4b〗^2+〖9b〗^2=350
b^2=25→b=5
a=3 c=6 e=9
a^2+c^2+e^2=3^2+6^2+9^2=9+36+81=126
a/b=3/5=0,6
10) En: A/a=a/b=b/A=k
Hallar: E=(〖2A〗^3+〖3b〗^3)/〖4a〗^3
( A)/( a)=a/b=b/A=K→ A^2/a^2 =ab/ab→A=a
b^2/a^2 =aA/bA→b=a
E=(〖2A〗^3+〖3b〗^3)/〖4a〗^3
E=(〖2a〗^3+〖3a〗^3)/〖4a〗^3 =5/4
REGLA DE TRES
1) Un obrero debe recibir por un año 24000 dólares y un traje; al cabo de 5 meses es despedido dándole 9300 dólares y el traje. Calcular el valor del traje.
24000+t→12
9300+t→5
9300+t=5((24000+t))/12
12(9300+t)=5(24000+t)
111600+12t=120000+5t
7t=8400
t=1200
RPT : 1200
5) Un cuartel tiene provisiones para 90 días, si se desea que duren 20 días más. ¿En cuánto debe disminuirse la ración?
x→90
y→110
90x=110y
90/110=y
Disminuye=x- 9/11 x
RPT : 2/11 x
6) En 10 litros de agua de mar hay 91 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua potable hay que añadir para que por cada 3 litros de la mezcla haya 13 gramos de sal?
(10+x)/91=3/13→x=11
8) Un individuo recorre 33 km en una hora y media, dando 37500 pasos, siendo los pasos de igual amplitud. ¿Cuántos pasos daría en 2 horas para recorrer 44 km?
Km
H
Pasos
33
1,5
37500
44
2
X
x=44(2)(37500)/(33)(1,5)
x=66666,7
11) N hombres tienen alimentos para d días. Si estos alimentos deben alcanzar 3d días. ¿Cuántos hombres deben disminuir?
N
d
N-x
3d
Nd=(N-x)(3d)
N=3N-3x
3x=2N
x=2/3 N
17) Oscar es 25% más eficiente que Raúl. Si Raúl puede hacer una obra en 18 días. ¿En cuántos días podrán hacer juntos la obra?
18
100%
x
225%
18(100%)=x(225%)
8=x
18) Una llave demora 4 horas en llenar un tanque y otra demora 5 horas. Un día el rendimiento de la 1ra bajó en 1/5 y el de la 2da ¼.
¿Qué tiempo demoran en estas condiciones las 2 llaves en llenar el tanque?
4h
1
X
4/5
(4h)(1)=4/5 x
5h=x
5h
1
y
3/4
(5h)(1)=y(3/4)
20/3=y
Juntas:
1/5+3/20=(4+3)/20=7/20
demoran 20/7=26/7 h
21) Un contratista dice que puede terminar un tramo de autopista en 3 días si le proporcionan cierto tipo de máquinas; pero con tres máquinas adicionales de dicho tipo puede hacer el trabajo en 2 días. Si el rendimiento de las máquinas es el mismo, ¿Cuántos días empleará una máquina para hacer el trabajo?
Máquinas. días
X
3
X+3
2
3x=2(x+3)
x=6
Entonces:
Máquinas. días
6
3
1
x
6.3=1x
18=x
55) 80 obreros trabajan 8 horas diarias construyendo 480m2 de una obra en 15 días.
¿Cuántos días requieren 120 obreros, trabajando 10 horas diarias para hacer 960m2 de la misma obra?
Km H m2 días
80
8
480
15
120
10
960 x
x=80(8)(960)(15)/(120)(10)(480)
x=16
56) Una cuadrilla de 10 obreros se compromete a construir en 24 días cierta obra. Al cabo de 18 días solo han hecho 5/11 de la obra. ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar a la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado?
obreros días Obra
10
18
5⁄11
10+x
6
6⁄11
10+x=10(18)(6⁄11)/(6)(5⁄11)
x=26
PORCETAJE
1) El 25% del 20% de un número más el 28% del mismo es igual al 82.5% del inverso del 10% del número. Hallar el número.
25%(20%(N) )+28%N=82,5%(1/(10%N))
25/100 (20/100 N)+28/100 N=82,5/100 (1/(10/100 N))
1/20 N+7/25 N=82,5/100 (10/N)
(25N+140N)/500=825/10N
165N/500=82,5/10N
165N^2=50(82,5)
N^2=50(82,5)/165
N^2=25→N=5
3) ¿Cuál es el tanto por mil de 8970 que excede en un 15% al 20% de 17940?
X/1000 (8970)=115%(20%17940)
X/1000 (8970)=115/100 (20/100 17940)
897/100=4126,2
X=(4126,2)(100)/897
X=460%
5) Se tiene dos productos cuyo costo es de S/.6600 cada uno. Uno se vende perdiendo el 32% del precio de venta, mientras que el otro se gana; de tal manera que al final se obtiene una ganancia promedio de S/.400 por producto. ¿A cómo se vendió el producto con el que se ganó?
PRODUCTO 1
Pc=6600
Pv=Pc+G
Pv=6600-32% Pv
Pv+32% Pv=6600
Pv+32/(100 ) Pv=6600
(100Pv+32Pv)/100=6600
132Pv/100=6600
Pv=6600(100)/132
Pv=5000
Perdí 6600-5000=1600
PRODUCTO 2
Pc=6600
G=?
Ganancia promedio = 400 c/u
Ganancia Total = 800
G1+G2=800
-1600+G2=800
G2=2400
Para el 2do
Pv=Pc+G
Pv=6600+2400
Pv=9000
7) Cada mes una moneda A se devalúa el 20% respecto a otra moneda B y ésta el 30% de C. Después de dos meses, ¿cuánto se devaluó A respecto a C?
Con respecto a A :
1er Mes:
B-20% B
20% B
2do Mes:
80% B-20% (80% B)
80% B- 20/100 (80% B)
80% B-16% B
64% B
A=64% B
Con respecto a B
1er Mes:
C-30% C
70% C
2do Mes:
(70% C)-30% (70% C)
70% C- 30/100 (70% C)
49% C
B=49% C
A=64%(49% C)
A=64/100 (49% C)
A=31,36% C
Se ha devaluado A con respecto a C
100%-31,36%
=68,64%
9) 4 alumnos se reparten S/.9488 y se obtuvo el siguiente resultado: Al primero le tocó el 30% más que al segundo, 75% más que al tercero y 80% más que al cuarto. ¿Cuánto le tocó al tercero? Dar como respuesta la suma de sus cifras.
A=130% B=175% C=180% D
100(A=130/100 B=175/100 C=180/100 D)
100A=130B=175C=180D
100A/130=B 100A=175C
100A/175=C 100A=180D
100A/180=D
A+B+C+D=9488
A+100A/130+100A/175+100A/180=9488
A(1+100/130+100/175+100/180)=9488
A=3,276
Halla C
100A/175=C
C=100(3296)/175
C=1872
Cifras =18
11) El precio de costo de un par de zapatos es S/.2500; se vende a un precio con el cual se pierde 20% del precio de venta. Si este precio de venta fuese un 50% mayor que el actual, se ganaría 1.5 veces la pérdida. ¿Cuál sería esta ganancia?
Pc=2500
Pierde 20% Pv
Pv=50%
G=1,5 (pérdida)→dato de más
Pv=Pc+G
Pv=2500-20% Pv
Pv+20% Pv=2500
120% Pv=2500
120/100 Pv=2500
Pv=5(2500)/6
Pv=12500/6
Nuevo
Pv=150%(12500/6)
=150/100 (12500/6)
=3125
Pv=Pc+G
3125=2500+G
3125-2500=G
625=G
13) El precio de venta de un artículo se fija en S/.126 más que su precio de costo. Al momento de venderlo se rebajo el 10%. Si se ganó el 8% del precio costo. Hallar el precio de venta.
Pv=126+Pc
Rebaja del 10%
G=8% Pc
Pv=?
Rebaja
Pv=90%(126+Pc)
G=8% Pc
Pv=Pc+G
90%(126+Pc)=Pc+8% Pc
90/100 (126+Pc)=Pc+8/(100 ) Pc
0,9(126+Pc)=Pc+0,08 Pc
113,4+0,9 Pc=Pc+0,08 Pc
113,4=Pc+0,08 Pc-0,9 Pc
113,4=Pc(1+0,08-0,9)
113,4=0,18 Pc
113,4/0,18=Pc
630=Pc→Pv=126+630
Pv=756
17) Al vender un libro se hace un descuento de 12% con lo que ganó S/.47,6. Hallar el precio de costo de dicho libro si se sabe que al fijar inicialmente el precio de venta se fija en el precio de costo incrementado en un 20%.
Descuento: 12%
G = 47,6 soles
Pc = ?
Pv=Pc+20% Pc
Pv=120% Pc
Pv=120/100 Pc
Pv=1,2 Pc
Se le descuenta: 12%
Pv=88%(1,2 Pc)
Pv=88/100 (1,2 Pc)
Pv=1,056 Pc
Pv=Pc+G
1,056 Pc=Pc+47,6
1,056 Pc-1Pc=47,6
0,056 Pc=47,6
Pc=47,6/0,056
Pc=850
30) Al vender un artículo se ha fijado un precio de venta, si al venderlo se hiciera un descuento del 19% perdería 10% del precio de costo y si lo aumentara en un 5% ganaría S/.45. Hallar el precio de venta.
Pv = ?
Descuenta 19%
81% Pv=Pc+6
81% Pv=Pc-10% Pc
81/100 Pv=Pc- 10/100 Pc
81/100 Pv=(100Pc-10Pc)/100
81 Pv=90 Pc
Pv=90/81 Pc=10/9 Pc
Aumenta 5%
105% Pv=Pc+G
105%(10/9 Pc)=Pc+45
(5 Pc)/30=45
105/100 (10/9 Pc)=Pc+45
(35 Pc)/30-Pc/1=45
(35 Pc-30 Pc)/30=45
Pc=270
Pv=10/9 (270)
Pv=300
INTERES SIMPLE
1) Hallar el interés simple de S/.4000 colocados durante 6 días al 36% anual.
I=4000.6.36/36000
I=24
2) ¿Qué interés simple podrá disponerse el 18 de mayo, si el 15 de abril se invirtió S/.5000 a una tasa anual del 24%?
I=5000.33.24/36000
I=110
3) ¿Cuál es el interés simple de S/.3000 en 8 meses al 48% anual?
I=3000.8.48/1200
I=960
5) Calcular el interés simple de S/.2000 al 2,5% mensual desde el 12 de marzo al 15 de junio del mismo año.
I=2000.38.2,5/1200
I=158,33
7) ¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/.800 en 7 trimestres al 26% anual?
C=800/7(26/400) =1758,24
9) ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual aplicada para que un capital de S/.8000 colocado a 2 años y 6 meses haya ganado S/.6000?
6000=8000(30)i
2,5%=i
10) Un capital de S/.2000 ha producido un interés de S/.60 durante 36 días, calcule la tasa anual de interés simple.
60=2000(36) i/36000
30%=i
11) ¿En qué tiempo podré triplicar un capital a una tasa mensual de interés simple del 5%?
2c=c.t.5/100
t=40 meses
13) ¿Durante qué tiempo habrá estado impuesto un capital de S/.15000 al 28% anual, si el interés simple producido es de S/.300.
300=15000.28/36000.t
t=26 (aprox)
14) Un capital de S/.12000 ha producido S/.541, 68 de interés simple al 12,5% anual. Determinar el tiempo de la operación.
541,68=12000(12,5/36000)t
t=130
INTERES COMPUESTO
1) Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un préstamo bancario de S/.50000 que devenga una tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual.
M=50000(1+0,36/12)^5
=57963,70
2) Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/.20000 colocado durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36% capitalizable diariamente.
M=20000(1+0,36/360)^180
=23942,19
3) ¿Qué monto debe dejarse en letras con vencimiento dentro de 38 días, si después de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/.20000, sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual del 3,5%.
M=20000(1+0,035/30)^38
=20906
4) Asumiendo que la población actual es de 22 millones de habitantes y su tasa promedio de crecimiento neto anual es del 2,01%. ¿Cuántos habitantes seremos dentro de año y medio?
M=22(1+0,00201)^1,5
=22,7 millones
5) El primero de abril el precio de una materia prima fue de S/.20000 por tm. 45 días después se incrementó a S/.22000. ¿Cuál será el precio a pagar por el nuevo stock que lo renovaremos dentro de 180 días contados a partir del 1 de abril, si nuestro proveedor nos manifiesta que los precios se incrementarán periódicamente (cada 45 días) en el mismo porcentaje original?
22000=20000(1+i)^45
1,1=(1+i)^45
√(45&1,1)-1=i
0,00212=i
M=20000(1+0,00212)^180
M=29281
6) En el último semestre el precio de la gasolina ha venido incrementándose en 2% cada 18 días en promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿Cuánto costará un galón de gasolina dentro de un año, si el precio es hoy S/.3, 50?
M=3,5(1+0,02)^20
=5,20
7) Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/.1000 percibiendo una tasa nominal mensual del 4% con capitalización diaria. El 2 de mayo retira S/.400, el 15 de mayo retira S/.200 y el 3 de junio deposita S/.100. ¿Qué monto acumuló desde la fecha de su depósito inicial hasta el 24 de junio, fecha en que canceló la cuenta?
M1=1000(1+0,04/30)^18=1024,274-400=624,274
M2=624,274(1+0,04/30)^13=635,18
M3=635,18-200=435,18
M4=435,18(1+0,04/30)^19=446,34
M5=446,34+100=546,34
M6=546,34(1+0,04/30)^21=561,84
8) Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual gana una tasa de interés efectivo mensual del 3% sobre sus saldos acreedores y paga una tasa nominal mensual del 3% con capitalización diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarios). Calcule el monto de la cuenta al 31 de agosto, cuyo movimiento fue el siguiente:
Fecha 4/8 6/8 9/8 12/8 13/8 15/8 31/8
Depósito 10000 5000 3000 30000 9000 15000
Retiro 2000 37000
M1=10000(1+0,03/30)^2=10020
M2=10020+5000-2000=13020
M3=13020(1+0,03/30)^3=13059,1
M4=13059,1+3000=16059,1
M5=(16059,1) (1+0,03/30)^3=16107,325
M6=16107,325-37000=-20892,675
M7=-20892,675(1+0,03/30)^1=-20913,57
M8=20913,57+30000=9086,43
M9=9086,43(1+0,03/30)^2=9104,6
M10=9104,6+9000=18104,6
M11=18104,6(1+0,03/30)^16=18396
M12=183396+15000=33396
PROBLEMAS DE TIEMPO
36) ¿Cuánto tiempo a partir del segundo depósito será necesario para que un depósito de s/. 1000 efectuado hoy y un depósito de s/. 1500 que efectuaré dentro de 4 meses en un banco, ganando una tasa efectiva mensual del 4% se conviertan en s/. 4000
1000(1+0,04)^4=1169,86
(1169,86+1500) (1+0,04)^t=4000
2669,86(1,04)^t=4000
t=10,3 meses
41) Calcule el interés que ha producido un capital de s/. 7000, aun tasa efectiva mensual del 1% por el período comprendido entre el 3 de abril y 6 de junio del mismo año.
I=7000((1+0,01/30)^64-1)=150
42) ¿Cuánto de interés se pagará por un préstamo de s/. 6000 que devenga una tasa efectiva trimestral del 2%? El crédito se ha utilizado durante 17 días.
I=6000((1+0,02/90)^17-1)=22,7
CONJUNTOS
2) Dado el conjunto:
A={{4,3},5,8,{8,{a,b} } }
Escribir sobre las líneas punteadas el símbolo correcto que corresponde en cada una de las siguientes proporciones para ser verdadera:
1. "5 ∈ A
" 2. 6 ∉ A
3. {4,3} ∈ A"
" 4. {"8," {"a,b" ┤ }" ∉ A
" 5. 8 ∈ {8,{a,b} }
6. {{4,3} } ⊂ A
7. {{4,3} } ∈ P(A)
8. {{4,3},5} ⊂ A
9. {{4,3},5} ∈ P(A)
10. {{4,3},6} ∉ P(A)
4) Dados los conjuntos:
A={0,{∅} } B={0,∅{∅},{0} } C=P(A∩B) D=P(B-A)
Entonces el conjunto (C∩D) es igual a:
A∩B={0,{∅} }→P(A∩B)={{0}{{∅} },{0{∅} },∅}
B-A={∅,{0} }→P(B-A)={{∅},{{0} },{∅{0} },∅}
C∩D={∅}
5) Dado el conjunto: A={0,1,2,∅,{0},{1,2},3}
Determine la verdad o falsedad de:
I) 0∈A (V)
II) ∅⊂A (V)
III) ∅ ∈A (V)
IV) {∅} ⊂A (V)
V) {∅}∈A (F)
VI) {1,2,3}∈A (F)
VII) {1,2,3}⊂A (V)
VIII) {0,2}⊂A (V)
9) Si A, B y C son conjuntos tales que A⊂B⊂C, simplificar:
[(A∩C)∪(B-C) ]∪[(A∪B∪C)∩(B-A) ]
A∩C=A
B-C=∅
A∪B∪C=C
B-A=B-A
[(A∩C)∪(B-C) ]∪[(A∪B∪C)∩(B-A) ]
[A∪∅]∪[C∩(B-A) ]
A∪(B-A)=B
12) En la siguiente figura; que representa la parte sombreada?
A∩B
16) La región sombreada está representada por:
(A-C)∪(B-A)
17) Sean los conjuntos: U={-1,0,1,2,3,4}
A={-1,0,1} M={X∈∪/X∉A→X∈B}
B={2,3,4} N={X∈∪/X∈A→X∉B}
Entonces M∩N es:
M={(X∈A)∪(X∈B) }={-1,0,1,2,3,4}
N={X∈A↔X∉B}={A}
M∩N=A
23) Sean:
A={X∈Z/-2<X<3}
B={X∈A/-1<X≤1}
C={X∈A/-1<X<1}
Hallar: P[(A-B)∩C]
A={-1,0,1,2} , B={0,1}, C={0}
A-B={-1,2}
(A-B)∩C=∅→P((A-B)∩C)={∅,{∅} }
29) En un colegio 100 alumnos han rendido 3 exámenes; de ellos 30 aprobaron el primero, 39 el segundo y 48 el tercero; 15 no aprobaron ninguno, 15 aprobaron los 2 primeros, 11 aprobaron el segundo y el tercero y 12 aprobaron el primero y el tercero.
¿Cuántos aprobaron los 3 cursos?
30+13+X+11-X+25+X+15=100
94+X=100
X=6
30) Un grupo de 63 niños dieron 3 exámenes para ser admitidos en un colegio y se sabe que 25 aprobaron el primer examen, 23 el segundo y 31 el tercero; 10 aprobaron el primero y el segundo; 5 el primero y el tercero; 8 el segundo y el tercero y 4 no aprobaron ningún examen. ¿Cuántos niños fueron admitidos al C.E. si solo necesitan aprobar 2 exámenes?
25+5+X+8-X+18+X+4=63
60+X=63
X=3
Aprobaron 2 ó 3 exámenes:
5-x+10-x+8-x+x
23-2x
23-6=17
ECUACIONES LINEALES
1) 3x+7=12-2x;1
3x+7=12-2x
5x=5
x=1
2) 5t-3=18+3(1-t);3
5t-3=18+3-3t
8t=24
t=3
3) (1-2y)/(3-y)+y=1/(y+2);-2
(1-2y)/(3-y)=1/(y+2)-y
(1-2y)/(3-y)=(1-y^2-2y)/(y+2)
(1-2y)(y+2)=(3-y)(1-y^2-2y)
y+2-2y^2-4y=3-3y^2-6y-y+y^3+2y^2
-y^3-y^2+4y-1=0
y^3+y^2-4y+1=0
Para y=-2→-8+4+8+1≠0
15) 1+x=3-x
1+x=3-x
2x=2
x=1
20) 6y-5(1+2y)=3+2(1-y)
6y-5(1+2y)=3+2(1-y)
6y-5-10y=3+2-2y
-2y=10
y=-5
21) 3z-2+4(1-z)=5(1-2z)-12
3z-2+4(1-7)=5(1-2z)-12
3z-2+4-4z=5-10z-12
-z+2=-10z-7
9z=-9
z=-1
25) (3x+7)/2=(1+x)/3
(3x+7)/2=(1+x)/3
3(3x+7)=2(1+x)
9x+21=2+2x
7x=-19
x=-19⁄7
27) 1-(2u-3)/4=(2-5u)/3-3u
1-(2u-3)/4=(2-5u)/3-3u
(4-2u+3)/4=(2-5u-9u)/3
12-6u+9=8-20u-36u
50u=-13
u=-13⁄50
28) (5y-6)/2=y-(2-y)/3
(5y-6)/2=y-(2-4)/3
(5y-6)/2=y-(2-y)/3
(5y-6)/2=(3y-2+y)/3
15y-18=6y-4+2y
7y=14
y=2
30) 1/2 [1+1/4 (3z-1) ]=2z/3-1/2
1/2 [1+1/4 (3z-1) ]=2z/3-1/2
1/2+3z/8-1/8=2z/3-1/2
(3+3z)/8=(4z-3)/6
9+9z=16z-12
21=7z
3=z
SISTEMA DE ECUACIONES
2) Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
x+2y+z=6
3x- y+z=2
Di cuáles de los siguientes temas ordenadas son soluciones al sistema y cuáles son:
a. (1,2,-1)
No cumple porque:
1+2(2)±1≠6
b. (1,2,1)
Sí cumple porque:
1+2(2)+1=6
3-2+1=2
c.(0,0,6)
No cumple porque:
3(0)-0+6≠2
d. (-2,0,8)
Sí cumple porque:
-2+2(0)+8=6
3(-2)-(0)+8=2
e. (1,1,-2)
No cumple porque:
1+2(1)-2≠6
f. (4,4,6)
No cumple porque:
4+2(4)+6≠6
g. 0,4/3,10⁄3
Sí cumple
3) Clasifica cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones como consistentes, inconsistentes e independientes o consistentes y dependientes.
a. y=x
x+y=1 x=y=1⁄2 (Consistente)
b. (2a+b=1)-2
3a+2b=2
a=0 (Consistente)
c. n=2m
6m=3n (Dependiente y consistente)
d. 2x-3y=1
8x-12y=7 (Carece de solución: Inconsistente)
e. (5p-2q=4)(-3)
15p-6q=1
0≠-11 (Inconsistente)
f. x+y+4=0
1/2 x-1/6 y+2/5=0→x+y=-4
3x-y=-12/5
4x=-32/5
x=-8/5, y=-12/5 (Consistente)
g. y-x+z=-1→z=x-y-1
+y-2x+3z=8→y-2x+3x-3y-3=8
4y+6x-2z=-4→x-2y=11
4y+6x-2(x-y-1)=-4
4y+6x-2x+2y+2=-4
4x+6y=-6→2x+3y=-3
2x+3y=-3
-2(x-2y=11)
7y=-25→y=-25/7, x=(-3 75/7)/2=54/14=2/7
h. 5y=5x
5y=x x=y=0 (Consistente)
i. 3m+n=2 n=-1/2
3m+3n=1 m=5/6 (Consistente)
j. 3r-2s=6
14𝑠−21𝑟=−42 (Dependiente y consistente)
5) Encuentra un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas que tenga como única solución el punto (-2, 1).
x+y=-1 x=-2
2x+3y=-1 y=1
7) Dos cuadrados son tales que el lado más grande mide el doble del lado del otro. ¿Cuánto mide el lado de ambos cuadrados si el perímetro del cuadrado más grande es de 60 metros?
L=2ρ→4L=60→L=15
L=15/2→L=7,5
9) Cuando una balsa navega contra la corriente, avanza 30 k/h y cuando navega a favor de la corriente, recorre 60 kilómetros cada hora. Suponiendo que la tasa y la corriente llevan la misma velocidad, tanto de ida como de regreso, ¿cuáles son las velocidades de la balsa y de la corriente?
V_b-V_r=30
V_ +V_r=60
V_b=45 Km/h
V_r=15 Km/h
11) En la elaboración de un producto se pueden seguir dos procedimientos obteniendo la misma calidad en el artículo producido. La inversión inicial requerida en el primer proceso es de $ 100,000.00 y en el otro es de $50,000.00. En el primero el costo de elaboración de cada artículo es de $4.00 y en el segundo es de $7.00. ¿En el cuál de los dos procesos convendrá invertir?
〖 I〗_1=100000+4q
〖 I〗_2=50000+7q
Para I_1=I_2→100000+4q=50000+7q
50000/3=q
q<50000/3 conviene I_2
q>50000/3 conviene I_1
12) Dos velas del mismo largo están hechas de materiales distintos, tales que una de ellas se consume uniformemente hasta terminarse en cuatro horas, en tanto que la otra se consume en seis horas. Ambas miden 120 centímetros. ¿A qué hora deben prenderse ambas velas para que a las 5:00 de la tarde la vela más grande mira el doble que la otra?
V_1=20 cm/h 120-20t=2(120-30t)
V_2=30 cm/h 120-20t=240-60t
40t=120
t=3h
Hay que prenderla a las 2 pm
14) Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de lujo. Para hacer una válvula estándar son necesarios cinco minutos en el torno y 10 en la prensa de taladora; para la válvula de lujo son necesarios nueve minutos en el torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está disponible cuatro horas y la prensa siete. ¿Cuántas válvulas de cada tipo deben hacerse para utilizar las dos máquinas todo el tiempo posible?
Torno Taladora
Estándar 5 10
Lujo 9 15
(60)(4) 7(60)
-2(5x+9y=240)
10x+15y=420
-3y=-60
y=20
x =12
17) En una oficina se necesita una fotocopiadora y tienen dos opciones: una que cuesta $ 20,000.00 y otra, de mayor calidad, que cuesta $ 40,000.00. Con la primera fotocopiadora se obtienen 1000 copias por hora y con la segunda, 1500. El costo de producción por cada copia es de $0.1 con la primera fotocopiadora y de $0.05 con la fotocopiadora más cara. Tomando en cuenta todas las características mencionadas, ¿Cuál de las dos fotocopiadoras conviene comprar?
〖 F〗_1=20000+0,1 cop.
〖 F〗_2=40000+0,05 cop.
Costo unitario variable 2=1/2 (costo unit. variable 1)
Rendimiento cantidad / h 2=1500/1000(rendimiento 2)
ECUACIONES CUADRATICAS
1) (x+3)(x-2)=0
x=-3, x=2
6) 〖3x〗^2-x-4=0
3x-4
x+1
(3x-4)(x+1)=0
x=4/3 x=-1
17) x^2+2x-8=0
x+4
x-2
(x+4)(x-2)=0
x+4=0 x-2=0
x=-4 x=2
28) 〖6x〗^2-7x-3=0
x=(7±√(49-4(6)(-3) ))/2(6)
x=(7±√121)/12=(7±11)/12
X1=18/12=3⁄2
X2=(7-11)/12=-1⁄3
34) 15-〖2y〗^2=7y
-〖2y〗^2-7y+15=0
〖 2y〗^2+7y-15=0
y=(-7±√(49-4(2)(-15) ))/2(2)
y=(7±√289)/4=(7±17)/4
( -7+17)/4=5⁄2
(-7-17)/4=-6
37) x^4-〖5x〗^2+6=0
(x^2-3)(x^2-2)=0→(x+√3)(x-√3)(x+√2)(x-√2)
x=-√3,x=√3,x=-√2,x=√2
71) Una persona parada en el balcón de un edificio arroja una pelota directamente hacia arriba. La altura de la pelota medida desde el suelo después de t segundos está dada por
h=-〖16t〗^2+64t+768.
¿En qué momento llega la pelota al suelo?
〖 16t〗^2+64t+768=0
〖 t〗^2-4t-48=0
( 4±√(16-4(-48) ))/2(1) =(4±√192)/2
(4±8√3)/2=2±4√3
72) Un modelo de cohete se lanza directamente hacia arriba, de modo que su altura (medida en pies) t segundos después del lanzamiento está dada por
h(t)=-〖16t〗^2+384t+4
a. Calcule el (los) momento(s) en que el cohete está a una altura de 1284 pies.
a. 〖-16t〗^2+384t+4=1284
〖-16t〗^2+384t-1280=0
t^2-24t+80=0
t= (24±√(〖24〗^2-4(80) ))/2(1)
t= (24±√256)/2
t= (24±16)/2
t=20,t=4
